2 умножить на 3 5: Такой страницы нет на нашем сайте.

Содержание

Умножение десятичных дробей — примеры, правила как умножать в 5 классе

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие десятичной дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Вернемся к обыкновенным дробям позже, а сейчас обсудим десятичные дроби.

Их знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

  • 0,600 = 0,6
  • 21,10200000 = 21,102
Основные свойства
  1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
  2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
  3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
  4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

  • Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
  • Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
  • Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как записать десятичную дробь

Давайте разберем на примерах, как записывается десятичная дробь.

Небольшая напоминалка: сначала пишем целую часть, ставим запятую и после записываем числитель дробной части.

Пример 1. Перевести обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Как решаем:

  1. Знаменатель равен 10 — это один ноль.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак и ставим запятую.
  3. В полученной десятичной дроби цифра 1 — целая часть, цифра 6 — дробная часть.

Ответ: 16/10 = 1,6.

Пример 2. Перевести 37/1000 в десятичную дробь.

Как решаем:

  1. Знаменатель равен 1000 — это три нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Так как в числителе только две цифры, то на пустующие места пишем нули.
  4. В полученной десятичной дроби цифра 0 — целая часть, 037 — дробная часть.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель вас правильно понял, важно читать десятичные дроби грамотно. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целых», а потом дробную с обозначением разряда — он зависит от количества цифр после запятой:

Сколько цифр после запятой? Читается, как
одна цифра — десятых; 1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотых 2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячных; 23,885 — двадцать три целых, восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячных; 0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и т.д.

Сохраняй наглядную картинку, чтобы быстрее запомнить.

Принципы умножения десятичных дробей

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами: складывать и вычитать, делить и умножать. В этом блоке узнаем, как умножать дроби.

Свойства умножения десятичных дробей
  1. Переместительное свойство умножения — от перестановки мест множителей произведение не изменяется.
    ab = ba
  2. Сочетательное свойство умножения — чтобы умножить число на произведение двух чисел, нужно сначала умножить его на первый множитель, затем полученное произведение умножить на второй множитель.
    (ab)c = a(bc)
  3. Распределительное свойство умножения относительно сложения — чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.
    a(b + c) = ab + ac
  4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания — чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
    a(b — c) = ab — ac

Умножение десятичных дробей друг на друга можно упростить и просто умножить натуральные числа. Главное — правильно поставить запятую в ответе.

Если в задаче даны десятичные дроби с разными знаками — используем правило умножения отрицательных чисел. Как быстро запомнить:

«−−» минус на минус дает плюс
«−+» минус на плюс дает минус
«+−»
плюс на минус дает минус
«++» плюс на плюс дает плюс

Числа с единицей и нулями (10, 100, 1000 и т.  д.) называются разрядными единицами, так как цифра 1 — единственная значимая цифра в числе и от ее местоположения зависит количественное значение числа. Важно запомнить правила для умножения и деления на разрядную единицу:

  • Чтобы умножить число на разрядную единицу, достаточно к числу справа дописать столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.
  • Чтобы разделить число на разрядную единицу, достаточно от числа справа отбросить столько нулей, сколько их содержит разрядная единица.

Как умножать десятичные дроби в столбик

Чтобы перемножить десятичные дроби нужно сделать три шага:

  1. Записать десятичные дроби в столбик и умножить друг на друга, как обыкновенные числа.
  2. Посчитать количество знаков после запятой у каждой дроби. Сложить их количество.
  3. Полученную цифру отсчитать справа налево и поставить запятую.

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

  1. Запишем дроби в столбик и умножим их, как будто у нас нет никаких запятых:

    Получаем: 311 ∗ 001 = 311.

  2. Считаем общее количество цифр после запятой у обеих дробей — в нашем примере их четыре (по две на каждую).
  3. Берем число, которое получилось после умножения и отсчитываем справа налево 4 знака. Но у нас получилось всего три цифры, а не четыре. Значит добавляем перед ними один ноль и вуаля — четыре цифры после запятой готовы

Ответ: 3,11 ∗ 0,01 = 0,0311.

Примеры умножения десятичных дробей столбиком:

Чтобы закрепить тему, смотрите видео «Умножение десятичных дробей».

Как умножать десятичные дроби на натуральные числа

Умножение десятичных дробей на обычные числа происходит так же, как и умножение между десятичными дробями. Чтобы считать быстрее, умножайте их в столбик по правилам выше. А вот и примерчики!

Пример 1. Умножить десятичную дробь 2,27 на целое число 15.

Как решаем:

умножить столбиком данные числа и отделить два знака запятой.

Ответ: 15 ∗ 2,27 = 34,05.

Пример 2. Умножить 11 на 0,005.

Как решаем:

умножить столбиком данные числа и отделить три знака запятой.

Ответ: 11 ∗ 0,005 = 0,055.

Пример 3. Умножить 0,1557.. на 3.

Как решаем:

  1. Округлить бесконечную дробь: 0,1557..≈ 0,156
  2. Полученное число умножить на 3: 0,156 ∗ 3 ≈ 0468.

Ответ: 0,1557.. ∗ 3 ≈ 0468..

Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, нужно просто перенести запятую в дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит во втором множителе. Лишние нули слева можно отбросить. А если цифр не хватает — дописываем нули.

Примеры:

  • 1,15 ∗ 10 = 11,5;
  • 22,345 ∗ 100 = 2 234,5;
  • 8,99 ∗ 1 000 = 8 990;
  • 0,54678 ∗ 10 000 = 5467,8;
  • 0,07 ∗ 1 000 = 70;
  • 0,00033 ∗ 100 = 0,033.

Как умножать десятичные дроби на 0,1, 0,01, 0,001

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, нужно перенести запятую в дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей. Ноль целых — тоже считаем. Если цифр не хватает — просто дописываем дополнительный ноль — один или несколько — после запятой.

Примеры:

  • 34,9 ∗ 0,1 = 3,49;
  • 1,8 ∗ 0,1 = 0,18;
  • 145,7 ∗ 0,01 = 1,457;
  • 9655,1 ∗ 0,001 = 9,6551;
  • 11,9 ∗ 0,0001 = 0,00119.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 3/5 на 0,9.

Как решаем:

  1. Записать 0,9 в виде обыкновенной дроби:

    0,9 = 9/10.
  2. Умножить числа по правилам
    3/5 ∗ 9/10 = 27/50 = 0,54.

Ответ: 3/5 ∗ 0,9 = 0,54.

Пример 2. Умножить 0,18 на 3 1/4.

Как решаем:

  1. Записать 3 1/4 в виде десятичной дроби:

    3 1/4 = 3,25.
  2. Произвести умножение в столбик или при помощи калькулятора:

    0,18 ∗ 3,25 = 0,585.

Ответ: 0,18 ∗ 3 1/4 = 0,585.

А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Порядок действий

В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.

Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.

Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:

10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Такие выражения нельзя вычислить сразу, то есть поставить знак равенства и записать значение выражения. Да и выглядят они не так просто, как 2 + 2 или 9 − 3.

Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.

Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение 10 − 1 + 2 + 3. Видим, что в нём нет никаких скобок. Тогда переходим к следующему правилу, которое выглядит так:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:

Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Встречаем вычитание 10 − 1. Сразу выполняем эту операцию: 10 − 1 = 9. Полученную девятку запишем в главном выражении вместо 10 − 1

Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:

1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!

2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!

3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!

Сейчас у нас имеется выражение 9 + 2 + 3 Читаем его слева направо и встречаем сложение 9 + 2. Выполняем эту операцию: 9 + 2 = 11. Запишем число 11 в главном выражении вместо 9 + 2:

Осталось простейшее выражение 11 + 3, которое вычисляется легко:

11 + 3 = 14

Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14

10 − 1 + 2 + 3 = 14

Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  10 1 = 9

2)   9 + 2 = 11

3)  11 + 3 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:

Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.


Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3

Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение (3 + 5) + 2 × 3. Видим, что в нём есть выражение в скобках (3 + 5). Вычислим то, что в этих скобках: 3 + 5 = 8. Запишем полученную восьмёрку в главном выражении вместо выражения в скобках:

8 + 2 × 3

Снова читаем первое правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Посмотрим на наше выражение 8 + 2 × 3. Видим, что в нём есть умножение 2 × 3. Выполним эту операцию: 2 × 3 = 6. Запишем полученную шестёрку в главном выражении вместо 2 × 3

8 + 6

Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:

8 + 6 = 14

Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14

(3 + 5) + 2 × 3 = 14

Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  3 + 5 = 8

2)   2 × 3 = 6

3)  8 + 6 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.


Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием,  четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:

1)  5 − 3 = 2

2)  5 × 2 = 10

3)  2 : 2 = 1

4)  10 + 1 = 11

5)  11 + 1 = 12

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Четвёртое и пятое действие заключалось в том, чтобы вычислить оставшееся простейшее выражение 10 + 1 + 1. Мы не стали тратить время на выполнение каждого из этих действий, а поставили знак равенства и записали ответ 12.


Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым

1)  3250 − 2905 = 345

2)  345 : 5 = 69

В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.

Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.

В данном случае сначала нужно 6 411 умножить на 8, и из полученного результата вычесть 40 799. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат будет умножен на 6.

В результате будем иметь следующий порядок:

1)  6 411 × 8 = 51 288

2)  51 288 − 40 799 = 10 489

3)  10 489 × 6 = 62 934


Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.

1) 50 377 + 20 338 = 70 715

2) 1 657 974 : 822 = 2 017

3) 2 017 × 106 = 213 802

4) 213 802−70 715 = 143 087


Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.

В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:

1) 96 : 4 = 24

2) 24 + 3 680 = 3 704

3) 14026 − 3 704 = 10 322


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

5 + 2 − 2 − 1

Решение

Задание 2. Найдите значение выражения:

14 + (6 + 2 × 3) − 6

Решение

Задание 3. Найдите значение выражения:

486 : 9 − 288 : 9

Решение

Задание 4. Найдите значение выражения:

756 : 3 : 4 × 28

Решение

Задание 5. Найдите значение выражения:

807 : 3 − (500 − 58 × 4)

Решение


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Умножение столбца чисел на одно и то же число

Предположим, нужно умножить столбец чисел на одно и то же число в другой ячейке. Для этого перед копированием формулы ее нужно изменить, добавив в адрес ячейки множителя символы $.

В нашем примере ниже требуется умножить все числа в столбце A на число 3 в ячейке C2. Формула =A2*C2 даст правильный результат (4500) в ячейке B2. Однако копирование формулы в последующие ячейки столбца B не будет работать, поскольку ссылка на ячейку C2 изменяется на C3, C4 и т. д. Так как в этих ячейках нет данных, результат в ячейках от B3 до B6 будет равен нулю.

Чтобы умножить все числа в столбце A на ячейку C2, добавьте символы $ в ссылку на ячейку следующим образом: $C$2, как показано в следующем примере.

Символ$ $ Excel, что ссылка на ячейку C2 является «абсолютной», поэтому при копировании формулы в другую ячейку она всегда будет ссылаться на ячейку C2. Чтобы создать формулу:

  1. В ячейке B2 введите знак равенства (=).

  2. Щелкните ячейку A2, чтобы добавить ее в формулу.

  3. Введите символ «звездочка» (*).

  4. Щелкните ячейку C2, чтобы добавить ее в формулу.

  5. Введите символ $ перед C и еще один перед 2: $C$2.

  6. нажмите клавишу ВВОД.

Совет:  Вместо символа $ можно разместить точку вставки до или после ссылки на ячейку, которую вы хотите сделать «абсолютной», и нажать клавишу F4, которая добавляет символы $.

Теперь вернемся немного назад и рассмотрим простой способ скопировать формулу в последующие ячейки столбца после нажатия клавиши ВВОД в ячейке B2.

  1. Выберите ячейку B2.

  2. Дважды щелкните маленький зеленый квадрат в правом нижнем углу ячейки.

Формула автоматически копируется на последующие ячейки столбца до ячейки B6.

После копирования формулы в столбце B появляются правильные результаты.

Калькулятор дробей

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i nd = i · d + nd

Например,

5 34 = 5 · 4 + 34 = 234

Как перевести обыкновенную дробь в смешанную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:

  1. Поделить числитель дроби на её знаменатель
  2. Результат от деления будет являться целой частью
  3. Остаток отделения будет являться числителем

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

  1. Записать дробь в виде десятичная дробь1
  2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
  3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:

  1. Записываем дробь в виде: 0.361
  2. Умножаем на 10 два раза, получим 36100
  3. Сокращаем дробь 36100 = 925

Как перевести дробь в проценты

Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.

Как перевести проценты в дробь

Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.

Сложение дробей

Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
  3. Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
  3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
  3. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  4. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Деление дробей

Алгоритм действий при делении двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
  3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей онлайн с решением. Калькулятор умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели, первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Правила умножения дробей

Произведение двух дробей равно дроби. В числителе которой произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей.

Как умножать обыкновенные дроби

Для умножения обыкновенных дробей нужно найти произведение числителей и произведение знаменателей. Первое произведение записать числителей а второе знаменателем.

Разберём пример: умножим дроби 1/4 × 1/3. Для этого перемножим числители 1 × 1 = 1 и знаменатели 4 × 3 = 12 в итоге у нас получится дробь 1/12

Как умножать натуральное число на дробь

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно числитель умножить на это число а знаменитель оставить без изменения.

Как умножать 3 и более дробей

При умножении 3 и более дробей мы пользумеся теми же правилами что и при умножении двух дробей.

Разберём пример: умножим правильную дробь 1/4 на натуральное число 5 и на смешанную дробь 3 целые 1/8.

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 1/8 = 25/8. Затем перемножить числители 1*5*25 = 125 и знаменатели 4*8 = 32. Полученное записать в виде дроби 125/32. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как умножить смешанную дробь на целое число

Чтобы умножить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем числитель неправильной дроби умножить на целое число. Знаменатель оставить без изменения.

Разберём пример: умножим смешанную дробь 2 целые 1/4 на целое число 6.

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 2 целые 1/4 = 9/4. Затем умножить числитель неправильной дроби на целое число 9*6 = 54 а знаменатель останется без изменения 4. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как перемножить смешанные дроби

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно их перевести в неправильные. Затем перемножить числители и знаменатели.

Разберём пример: умножим смешанную дробь 1 целая 2/5 на смешанную дробь 2 целые 1/3.

Переведём смешанные дроби в нерпавильные 1 целая 2/5 = 7/5 и 2 целые 1/3 = 7/3. Затем перемножим числители 7*7 = 49 и знаменатели 5*3 = 15. Получится дробь 49/15. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Урок 52. переместительное свойство умножения — Математика — 2 класс

Математика, 2 класс

Урок № 52. Переместительное свойство умножения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Что такое переместительное свойство умножения?
  2. Когда используется переместительное свойство умножения?

Глоссарий по теме:

Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. Знак умножения — *, х.

Компоненты умножения: первый множитель, второй множитель.

Результат умножения – произведение.

Переместительное свойство умножения – от перестановки мест множителей произведение не изменяется. В общем виде переместительное свойство умножения записывают так: a • b = b • a.

Обязательная литература и дополнительная литература:

  1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.56
  2. Математика. 2 класс: Тесты по математике в 2 ч. Ч.2/ В.Н. Рудницкая. – М. Экзамен, 2016. – с. 20-24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрите выражения. Выполните вычисления устно, используя таблицу умножения.

3 • 2

6 • 4

3 • 5

Проверьте, 3 • 2= 6, 6 • 4 = 24, 3 • 5 = 15

А теперь в каждом произведении поменяйте множители местами и найдите значение получившихся произведений, заменив их суммой одинаковых слагаемых.

2 • 3 = 2 + 2 + 2 = 6

4 • 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

5 • 3 = 5 + 5 + 5 = 15

Сравните равенства.

Множители поменяли местами. Произведения не изменились, они равны в каждой паре равенств.

Это переместительное свойство умножения. Если множители поменять местами, произведение не изменится. Оно записывается так: a + b = b + a.

Составим равенства по рисунку и найдем их значение.

6 • 3 = 18. Так как в каждом ряду 6 яблок одного цвета и таких рядов 3.

3 • 6 = 18. Так как 3 столбца яблок разного цвета и таких столбцов 6.

Получили равные произведения, хотя множители поменяли местами.

Составим равенства к следующему рисунку и найдем значение выражений.

5 • 2 = 10. Так как 2 ряда по 5 треугольников.

2 • 5 = 10. Так как 5 столбцов по 2 треугольника в каждом. Множители поменяли местами. Сравним произведения. Они одинаковые.

Составим равенства к этому рисунку.

На рисунке 2 ряда вазочек, по 3 вазочки в каждом. Получаем равенство.

3 • 2 = 6.

А можем рассуждать по-другому. 3 столбца вазочек, по 2 вазочки в столбце. Составляем равенство. 2 • 3 = 6. Множители поменяли местами. Произведения не изменились.

Решим задачу. В школьном саду 3 ряда кустов малины, по 6 кустов в каждом ряду. Сколько всего кустов малины в школьном саду?

Для решения выбираем действие умножение, так как неизвестно общее число кустов.

Решение задачи:

6 • 3 = 18 (к.)

Ответ: 18 кустов.

Сравним с решением другой задачи.

В школьной столовой 6 рядов столов, по 3 стола в каждом ряду. Сколько всего столов в школьной столовой?

Решение задачи:

3 • 6 = 18 (с.)

Ответ: 18 столов.

Для решения задач выбрали действие умножение. Множители поменяли местами. Произведения одинаковые.

Но в первой задаче большее число умножали на меньшее. А во второй задаче, наоборот, меньшее на большее. В математике удобнее большее число умножать на меньшее. Для этого используют переместительное свойство умножения.

Переместительное свойство умножения – полезное правило, не сложное для запоминания. Свойство позволяет выбирать более удобный способ умножения чисел.

Вывод:

Ответим на вопрос, поставленный в начале урока.

От перестановки множителей произведение не меняется. Это переместительное свойство умножения. В общем виде оно записывается так:

a • b = b • a.

Переместительное свойство умножения используется для удобства вычислений.

Выполним несколько тренировочных заданий.

1. Используя переместительное свойство умножения, найдите значение второго выражения в каждой паре, зная значение первого.

В каждой паре значения выражений будут одинаковыми, так как множители поменяли местами.

2. Подчеркните неверные равенства:

Неверными будут три равенства:

6 • 5 = 4 • 6;

7 • 2 = 2 + 7;

5 • 3 = 5 + 5.

Свойства степеней, которые пригодятся в жизни и школьникам, и их родителям

В жизни нередко возникают ситуации, когда полезно уметь правильно возводить число в степень, а также решать задачи, опираясь на особенности и свойства степеней. К примеру, без математических операций над числами в степени вы не сможете рассчитать, сколько плитки вам нужно приобрести, чтобы выложить пол и стены в ванной комнате.

«Бери и Делай» кратко объясняет, какими свойствами обладают степени и какие ошибки мы чаще всего допускаем, решая даже простые выражения с подобными числами. Сохраните эту статью, чтобы всегда иметь под рукой в нужный момент.

Что такое степень числа

Когда мы умножаем число само на себя, мы называем этот процесс возведением числа в степень. Так, если умножить число 3 само на себя, то мы запишем это как 32,или «три во второй степени».

Для 2-й и 3-й степеней часто используют специальные названия:

  • возведение в квадрат (или возведение во 2-ю степень), например a2
  • возведение в куб (или возведение в 3-ю степень), например a3

Если по известным значениям степени и показателя определяют неизвестное основание, это называется извлечением корня.

Свойства степеней

У степени есть основание и показатель. Посмотрите на картинку выше. Основание степени — это a, то есть повторяющийся множитель, а показатель степени — это b, то есть число, указывающее число повторений множителя. Читается это как «a в степени b».

Если показатель степени является натуральным числом, то его называют натуральным показателем. Из определения натуральных чисел следует, что натуральный показатель степени не может являться нулем, отрицательным или нецелым числом.

У степени с натуральным показателем есть несколько свойств, благодаря которым процесс вычислений можно упростить. Они перечислены выше. Давайте разберемся с каждым из них отдельно.

Свойство № 1: В 1-ю степень можно возвести любое число. И тогда число в 1-й степени будет равняться самому числу.

Например, 11 = 1, а 31 = 3. В алгебре 1-я степень обычно не записывается, но при действиях со степенями учитывается. Например, a4 × a = a4 × a1 = a4 + 1 = a5.

Свойство № 2: Степень произведения. Если нужно возвести в степень произведение множителей, то каждый из множителей возводят в степень, а затем результаты перемножают. При этом для вышеуказанной формулы важно, что a и b — это основания степеней (не равные нулю), а n — это показатель степени, натуральное число.

Пример использования: (3a)2 = (3 × a)2 = 32 × a2 = 32a2.

Свойство № 3: Степень частного. Если нужно возвести в степень результат деления делимого на делитель, то можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, а затем первый результат разделить на второй. При этом для вышеуказанной формулы важно, что a и b — это основания степеней (не равные нулю) и любые рациональные числа, но b ≠ 0. А n — это натуральный показатель степени.

Пример использования: (5/8)2 = 52 ÷ 82.

Свойство № 4: Произведение степеней. Если нужно умножить степени с одинаковыми основаниями, то основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают. При этом для вышеуказанной формулы важно, что n, m — это натуральные показатели степени.

Пример использования: 3435 = 34 × 35 = 34 + 5 = 39.

Свойство № 5: Частное степеней. Если нужно разделить степени с одинаковыми основаниями, то основание оставляют без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. При этом для вышеуказанной формулы важно, что a — любое число, не равное нулю, a n, m — это любые натуральные числа, но такие, что n > m.

Пример использования: 48 ÷ 45 = 48 − 5 = 43.

Свойство № 6: Возведение степени в квадрат. Если нужно возвести степень в степень, то основание степени оставляют без изменений, а показатели степеней умножают друг на друга. При этом для вышеуказанной формулы важно, что a — основание степени (не равное нулю), a n, m — натуральные показатели степени.

Пример использования: (42)3 = 42 × 3 = 46.

Другие свойства степеней

Число с дробным показателем степени равняется корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю. Получается, что операцию извлечения корня всегда можно заменить возведением в степень. Это хорошо использовать для упрощения записи выражения.

Пример использования: 3√a6 = a6 ÷ 3 = a2.

Любое число, возведенное в нулевую степень, будет равно единице (за исключением нуля). Нуль в нулевой степени не определен, поэтому подобное выражение не имеет смысла.

Пример использования: 74 × 7−4 = 74 + (−4) = 70 = 1.

Любое число, возведенное в отрицательную степень, равно единице, разделенной на это же число, но в положительной степени. В частности:

  • a−1 = 1/a,
  • (a/b)−n = (b/a)n

Пример использования: 6−2 = 1/62 = 1/36.

Степень с отрицательным основанием и четным показателем равна степени с основанием, противоположным данному, но с тем же показателем. Чтобы возвести в нечетную степень отрицательное число, нужно поставить знак «минус» и возвести в эту степень число, противоположное данному.

Пример использования: (−8)4 = 84 = 8 × 8 × 8 × 8 = 4 096. Или (−8)3 = −83 = −512.

Какие ошибки часто допускают, когда речь идет о свойствах степеней

  • Неправильно возводят число в нулевую, 1-ю и −1-ю степени, путая их между собой. Исходя из вышеуказанных свойств степеней, мы помним, что a0 = 1, a1 = a, a−1 = 1/a.
  • Неправильно умножают и складывают степени. Чаще всего это происходит тогда, когда в выражении степени с одинаковыми основаниями. Посмотрите на картинку выше: в первом случае основания не перемножаются, то есть должно быть 33 × 33 = 33 + 3 = 36. А во втором случае при сложении мы не можем складывать показатели степени, даже если бы они были одинаковыми: нужно сначала возвести в степень каждое число, а затем произвести сложение, то есть 53 + 54 = 125 + 625 = 750.
  • Неправильно возводят дробное число в отрицательную степень. На картинке выше только нижний вариант ответа соответствует правилу (a/b)−n = (b/a)n.

Бонус: проверьте себя, решив простой пример

Этот пример выглядит настолько простым, что кажется, будто бы с ним мог бы справиться даже ребенок. Но на самом деле он легко поставит в тупик большинство взрослых. Главное здесь — это не попасть в ловушку и выполнить все действия в правильном порядке. Начнем с левой стороны и воспользуемся свойством частного степеней. Тогда 23/22 = 23 − 2 = 21. Далее подставим это число в выражение и получим 21 + 21 + 20. На этом шаге кому-то захочется просто сложить показатели степеней. Но мы помним, что это неверный путь, и, воспользовавшись правилами возведения чисел в 1-ю и нулевую степени, получим 21 + 21 + 20 = 2 + 2 + 1 = 5.

Ответ: 5.

Простой в использовании калькулятор дробей

Калькулятор дробей позволяет складывать, вычитать, умножать и делить дроби с одинаковыми или разными знаменателями. Это также позволит нам упростить дроби, преобразовать дроби в десятичные и десятичные в дроби.

Сначала просто введите значения a, b, c, d для дробей \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \), а затем математическую операцию по вашему желанию. выполнить (+, -, x, /). Калькулятор моментально и точно выполнит операцию и выдаст ответ в простейшей форме.Вы также можете использовать калькулятор, чтобы проверить свою работу, которую вы проделали вручную.

Сложение и вычитание дробей

Подобные (общие) знаменатели

Сложите или вычтите числители, сохраняя знаменатели одинаковыми.

Пример: \ (\ frac {3} {5} + \ frac {4} {5} \)

Поскольку знаменатель равен 5 в обеих дробях, сложите 3 и 4, чтобы получить 7. Знаменатель остается 5, поэтому ответ — 7/5.

\ (\ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} \)

Поскольку знаменатель равен 6 в обеих дробях, вычтите 5 из 7, чтобы получить 2.Тогда дробь равна \ (\ frac {2} {6} \).

Но теперь мы можем упростить \ (\ frac {2} {6} \). Чтобы упростить, поищите общий фактор. Обратите внимание, что 2 равномерно делится как на 2, так и на 6. Следовательно, разделите числитель и знаменатель на 2, чтобы получить \ (\ frac {1} {3} \). Теперь дробь упрощена.

В отличие от знаменателей

Чтобы сложить и вычесть отличные знаменатели, сначала вычислите общий знаменатель. Самый простой способ сделать это — умножить два знаменателя.Это не всегда дает наименьший общий знаменатель, но вы можете упростить его после сложения и вычитания.

Пример: \ (\ frac {2} {5} + \ frac {4} {7} \)

Общий знаменатель 5 (7) = 35. Поскольку знаменатель в первой дроби умножается на 7, числитель также нужно умножить на 7, чтобы получить \ (\ frac {14} {35} \). Поскольку знаменатель второй дроби умножается на 5, числитель должен быть таким же, чтобы получить \ (\ frac {20} {35} \).

Теперь добавьте \ (\ frac {14} {35} + \ frac {20} {35} = \ frac {34} {35} \)

Вычитание выполняется таким же образом, просто вычтите две дроби после перезаписи дроби с их общими знаменателями. Если вам нужно упростить, не забудьте разделить на наибольший общий множитель.

Сложение и вычитание дробей Видео

Умножение и деление дробей

При умножении дробей просто умножайте числители и знаменатели. Тогда упростите. Вы также можете сначала упростить, прежде чем умножать.

Пример: \ (\ frac {2} {9} \ times \ frac {4} {7} \)

Умножьте 2 и 4, чтобы получить 8. Затем умножьте 9 и 7, чтобы получить 63. Результат: \ ( \ frac {8} {63} \).Нет необходимости в упрощении, поскольку наибольший общий делитель равен 1.

Теперь предположим, что мы хотим разделить \ (\ frac {2} {9} \ div \ frac {4} {7} \).

При делении дроби возьмите первую дробь и умножьте на обратную величину второй. Обратное просто меняет местами числитель и знаменатель. Проблема деления превращается в проблему умножения.

\ (\ frac {2} {9} \ times \ frac {7} {4} \)

2 × 7 = 14 и 9 × 4 = 36. Итак, ответ: \ (\ frac {14} { 36} \). Но обратите внимание, что это не в простейшей форме. Наибольший общий делитель равен 2, поэтому деление обоих на 2 дает упрощенный ответ \ (\ frac {7} {18} \).

Умножение и деление дробей Видео

Преобразование дробей в десятичные числа

Калькулятор преобразования дробей в десятичные принимает любую дробь и преобразует ее в десятичную.

Метод преобразования дроби в десятичную довольно прост. Просто разделите числитель на знаменатель.

Замените \ (\ frac {14} {25} \) на десятичное число.

Разделите 14 на 25, чтобы получить 0,56. Вы можете сделать это на калькуляторе или вручную с помощью длинного деления. Некоторые фракции не так просто обрабатывать вручную, особенно те, которые не завершаются. На этом калькуляторе с ними работать намного проще.

Но если вы решите вручную, калькулятор станет отличным инструментом для мгновенной проверки вашей работы.

Преобразование дробей в десятичные Видео

Преобразование десятичных знаков в дроби

Преобразование десятичных знаков в дроби является обратным преобразованию дробей в десятичные. Калькулятор быстро выполнит это и даст точные результаты, просто введя десятичное значение.

Чтобы преобразовать вручную, возьмите десятичную дробь и преобразуйте ее в целое число, затем разделите на 10, возведенное в число десятичных знаков, перемещенных вправо для преобразования числа. Оттуда вы можете упростить дробь, если это необходимо.

Пример:

Преобразовать 0,68 в дробь. Чтобы преобразовать 0,68 в целое число, переместите десятичную запятую на 2 разряда вправо, чтобы получить 68. Поскольку мы переместили 2 десятичных разряда, разделите 68 на 10 во второй степени, что равно 100.

Это дает нам \ (\ frac {68} {100} \). Теперь мы можем упростить дробь, найдя общий множитель. Если вы не знаете наибольшего общего множителя, вы можете начать с деления на любой общий множитель. Замечания 68 и 100 делятся на 2. Это уменьшает дробь до 34/50. Отсюда обратите внимание, что 34 и 50 делятся на 2. Это сводится к \ (\ frac {17} {25} \), что является упрощенным ответом.

Вы можете проверить свои ручные вычисления с помощью этого калькулятора или просто ввести информацию для вашей конкретной проблемы, чтобы получить почти мгновенные и точные результаты!

Что такое умножение дроби на целое число?

Умножение дроби на целое число

Мы знаем, что умножение — это повторное сложение.Итак, умножение дроби на целое число эквивалентно сложению дроби целое число раз.

Например:

3 x 14 может отображаться как,

Алгебраически это означает, что 3 x 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1 + 1 + 1 4 = 3 4

Рассмотрим произведение 5 x 2 3.

Это эквивалентно сложению 23,5 раза. Поскольку повторное сложение может быть выполнено умножением, это можно сделать, умножив числитель на 5.

То есть 5 x 23 = 5×24 = 103

Другой способ взглянуть на это — рассмотреть целое число 5 как дробь со знаминателем 1. Чтобы умножить две дроби, умножьте числители и знаменатели по отдельности, а затем запишите их произведения как числители и знаменатели соответственно.

5 x 23 = 51 + 23 = 5x21x3 = 103

Так как произведение представляет собой неправильную дробь, преобразуйте ее в смешанное число. Разделите 10 на 3. Частное равно 3, а остаток равен 1.

Таким образом, 103 = 313.

Это можно четко определить в геометрической интерпретации, как показано:

Пример:

Кэтрин лепит торт, для которого ей нужно использовать три четверти стакана масла. Если она решит испечь три торта, какое количество масла потребуется?

Для трех лепешек количество используемого масла должно быть в 3 раза больше трех четвертей стакана масла.

3 x 34 = 31 x 34 = 3x31x3 = 94

Преобразует неправильную дробь в смешанное число.

9 ÷ 4 = Q 2 R 1

Таким образом, 94 = 21 4

Следовательно, по новому рецепту потребуется 2 с четвертью стакана масла.

Интересный факт:

  • Если множимое является смешанной дробью, сначала преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножьте.

Пример: 5 x 62 3

Сначала преобразуем 62 3 в неправильную дробь.

623 = (6×3) +23 = 203

Итак, 5 x 623 = 5 x 203 = 51 x203 = 1003

Теперь преобразуем 1003 в смешанную дробь.

120 ÷ 3 = 33 кв. 1

Таким образом, 1003 = 3313

Умножение × | Основы арифметики

На этой странице описаны основы умножения (×) .

См. Другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: Сложение (+), Вычитание (-) и Деление ( ÷ ).

Умножение

При записи общий знак умножения — « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.

Чтобы выполнять вычисления умножения без калькулятора или электронной таблицы, вам необходимо знать, как складывать числа. См. Нашу страницу добавления, чтобы узнать, как добавить.

Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы добавляете его к себе несколько раз, например, 4, умноженное на 3, то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Следовательно, умножение — это более быстрый способ сложения одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен выражению, если у меня есть 3 пакета по 4 яблока, сколько всего яблок у меня есть?

Основные правила умножения:


  • Любое число, умноженное на 0, равно 0.200 × 0 = 0
  • Любое число, умноженное на 1, остается неизменным. 200 × 1 = 200.
  • Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
  • Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (один ноль из 10, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.
  • При умножении на 100 мы записываем два нуля в конце, на тысячу записываем три нуля в конце и так далее. Например, 4 × 2000 — это 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.

Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или «таблицу умножения », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце — столбец точка пересечения двух линий и есть ответ: 24 .

Неважно, с какой стороны искать числа; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.

Таблица умножения

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую проблему. Меган ведет в кинотеатр троих братьев, всего ей нужно купить 4 билета, каждый стоит 8 фунтов. Во сколько обойдется поездка? Нам нужно вычислить 4 лота по 8 фунтов стерлингов, что написано 4 × 8.

Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где пересекаются две линии: 32 . Стоимость похода в кинотеатр составит 32 фунтов стерлингов.

Часто бывает необходимо умножать числа больше 10.В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленного ответа. Однако мы все еще можем использовать его, чтобы упростить расчет.

Лиза занимается ресторанным бизнесом. Она должна доставить бутерброды 23 предприятиям, в каждом из которых работает 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов нужно приготовить Лизе?

23 предприятиям нужно 14 бутербродов, что составляет 23 лота по 14 или, другими словами, 23, умноженные на 14. Как мы уже обнаружили, мы можем записать расчет наоборот.14 × 23. Ответ будет таким же.

Нам нужно найти ответ на расчет 23 × 14.

Сначала запишите свои числа в столбцы, представляющие сотни, десятки и единицы (за помощью см. Нашу страницу Числа ).


Сот Десятки Шт.
2 3
1 4

Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 на 3.При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Напишите ответ (12) под своими вычислениями, стараясь поставить 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.

Синие числа — это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа — это первая часть нашего ответа.

Сотни Десятки Шт.
2 3
1 4
1 2

Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, равное 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков). Напишите свой ответ внизу в столбце десятков: мы напишем 8 в столбце десятков (4 раза по 2 десятка) и ноль в столбце единиц (4 раза по 2 десятка это то же самое, что 4 × 20 = 80).

Сотни Десятки Шт.
2 3
1 4
1 2
8 0

Шаг 3: В приведенных выше шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23).Затем нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем шаги, описанные выше. Оглядываясь на наши основные правила умножения, приведенные выше, мы знаем, что, умножая число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом этапе, поскольку мы переместились по столбцу и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первый столбец (единицы).

Выполните 1 × 3. Как и выше, мы записываем наш ответ (3) в столбец десятков и (0) в столбец единиц.

Сотни Десятки Шт.
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0

Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, — 1 × 2.Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один лот из 10 на два лота по 10. Используя правила, которые мы узнали на предыдущих шагах, нам нужно записать ноль в столбец единиц и , ноль в столбец десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.

Сотни Десятки Шт.
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0
2 0 0

Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; остается только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов. См. Нашу страницу Дополнение , если вам нужна помощь с суммированием чисел.

Сот Десятки Шт.
2 3
1 4
1 2
8 0
3 0
2 0 0
Всего: 3 2 2

12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать в общей сложности 322 бутербродов.

В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разделенное на все возможные части, но по мере повышения уверенности можно пропустить шаги.

Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на две части:

4 × 20 = 80
4 × 3 = 12
80 + 12 = 92

Сотни Десятки Шт.
2 3
1 4
9 2

Затем то же самое для второго столбца:

10 × 23 = 230


Сот Десятки Шт.
2 3
1 4
9 2
2 3 0

Наконец, мы складываем два наших ответа:

Сот Десятки Шт.
2 3
1 4
9 2
2 3 0
Всего: 3 2 2

92 + 230 = 322.


Умножение более двух чисел

Если вам нужно перемножить более двух элементов, обычно проще перемножить первые два элемента, получить сумму, а затем умножить следующее число на первую сумму. Например, если Джо хотел вычислить, сколько часов он отработал за четырехнедельный период, то расчет выглядел бы так:

Джо работает 7 часов в день 5 дней в неделю в течение четырех недель.

Шаг первый:

7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает в неделю).

Шаг второй:

Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем затем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.

Если мы знаем, что Джо платят 12 фунтов в час, мы можем затем подсчитать, сколько денег он заработал за четырехнедельный период: 12 × 140.

Быстрый способ решить это — вычислить:
10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое умножаем).
2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.

Мы складываем наши ответы: 1400 + 280 = 1680.
Таким образом, Джо заработал 1 680 фунтов стерлингов за четырехнедельный период.

Умножение отрицательных чисел


Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:

15 × (−4) = −60

Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:

(−15) × (−4) = 60


Почему 5 x 3 = 5 + 5 + 5 помечены как неправильные | Бретт Берри | Math Hacks

Если это определение, которое преподавал учитель, 5 x 3 эквивалентно 5 экземплярам 3, или 3 + 3 + 3 + 3 + 3.Это равно, но не эквивалентно 5 + 5 + 5, потому что 3 копии 5 представляют собой нечто иное.

Например, 3 связки по 5 бананов — это различных из 5 связок по 3 банана, хотя в сумме они равны одинаковому количеству бананов. Их строение разное.

Вот еще один пример: 30 ÷ 2 равно 15. Но представляет ли 30 ÷ 2 умножение? Это эквивалентно повторному сложению?

Нет, представляет собой подразделение. Он равен 5 умноженным на 3, но не эквивалентен.

Это зависит от обстоятельств. Если учитель уже обучил коммутативному свойству умножения (закон, который гласит, что a x b = b x a), тогда это прекрасная замена. И это здорово, что студентка это осознала! Престижность! Какой математик!

Если учитель не охватил коммутативное свойство, то было бы неразумно позволить ученику продолжить эту линию мысли, если он не понимает причины, почему полностью.

Новички часто не понимают, когда можно менять порядок значений в бинарных операциях. Мы знаем, что следующие не равны.

Но это легко спутать с ребенком, который видит, что иногда можно менять порядок, а иногда нет, и не знает, когда и почему.

Сосредоточив внимание на значении этих операций , поскольку они относятся к повторяющемуся сложению, массивам и области, учителя создают более глубокое понимание и пытаются предотвратить ученики от ошибок такого рода.

Почему это важно, если значения немного отличаются?

Для учащихся как никогда важно понимать разницу между равными в результате и эквивалентностью в значении с раннего возраста, потому что это фундаментальная концепция информатики .

В программировании существует различие между тестированием, если две вещи равны или эквивалентны (т. Е. Идентичны).

Равно означает, что у них одинаковое конечное значение, например 5 + 5 + 5 = 3 • 5 = 5 • 3 = 15.Эквивалентность означает, что они не только равны, но и относятся к одному типу данных. Другими словами, означают одно и то же.

В зависимости от языка числа и выражения, которые выглядят одинаково, не всегда означают одно и то же.

Например, в JavaScript, если мы проверяем равенство с оператором ==:

  • «4» == 4 возвращает True

, потому что компилятор понимает, что оба они относятся к числу 4. Но если мы проверим идентичность с помощью оператора ===:

  • «4» === 4 возвращает False

, потому что они означают разных вещей.Первый — это строка, а второй — это число, поэтому они не совпадают. Это лишь один из примеров того, как равенство не всегда бывает простым.

(Примечание: для более подробного обсуждения == vs === в JS ознакомьтесь с обсуждением переполнения стека .)

Обратите внимание, что вторая проблема также отмечена как неправильная. Почему важно, чтобы 4 x 6 составляли 4 ряда по 6, а не 6 рядов по 4?

Это не только соответствует определению, но и учит студентов правильному порядку построения диаграмм матриц, который составляет строк на столбцы.

Сохранение прямых строк и столбцов при матричном умножении жизненно важно.

Матрицы помечаются с использованием записи строка за столбцом, m x n . Чтобы умножить матрицы вместе, вы умножаете строки первой матрицы на столбцы второй . Количество столбцов в первой матрице должно равняться количеству строк во второй, иначе их нельзя перемножить.

Например, мы можем умножить матрицу 2 x 3 и матрицу 3 x 4 вместе.Но если поменять местами порядок, не будет достаточно строк и столбцов, и операция не может быть выполнена.

Порядок важен в определении умножения, потому что не все формы умножения коммутативны, например умножение матриц. Поэтому его преподают как отдельное свойство.

Я знаю, что это неприятно, но

Они являются квалифицированными специалистами по воспитанию детей. Они имеют в виду самые лучшие намерения по отношению к ученикам. Этот учитель принял решение, основываясь на гораздо большей информации об ученике и обстановке в классе, чем мы можем сказать по фотографии.Нам не обязательно соглашаться с этим, но мы можем уважать это. Если вы запутались, спросите их , почему они сделали что-то , прежде чем вы дискредитируете учителя в Интернете.

Калькулятор длинного умножения

Использование калькулятора

Умножение положительных или отрицательных целых или десятичных чисел в качестве множимого и множителя для вычисления произведения с использованием длинного умножения. Решение показывает работу стандартного алгоритма.

Части длинного умножения

2

5

6

Множаемое

×

3

2

Множитель

+

5

1

2

Частичный продукт

+

7

6

8

Частичный продукт

Как сделать длинное умножение

Длинное умножение означает, что вы выполняете умножение вручную.Традиционный метод, или Стандартный алгоритм, включает в себя умножение чисел и выстраивание результатов в соответствии с разрядами. Вот шаги, чтобы выполнить длинное умножение вручную:

  1. Расположите числа одно над другим и выровняйте значения разряда в столбцы. Число с наибольшим количеством цифр обычно ставится сверху как множимое.
  2. Начиная с разряда единиц нижнего числа, множителя, умножаем его на последнюю цифру верхнего числа
  3. Напишите ответ под строкой равно
  4. Если этот ответ больше девяти, запишите в качестве ответа единицы и перенесите цифру десятков
  5. Продолжайте движение справа налево.Умножьте единичную цифру нижнего числа на следующую цифру слева в верхнем числе. Если у вас есть цифра, добавьте ее к результату и напишите ответ под линией равенства. Если вам нужно снова нести, сделайте это.
  6. Когда вы умножили цифру единиц на каждую цифру в верхнем числе, перейдите к разряду десятков в нижнем числе.
  7. Умножьте, как указано выше, но на этот раз запишите ответы в новой строке со сдвигом на одну цифру влево.
  8. Когда вы закончите умножение, нарисуйте еще одну линию ответов под последней строкой номеров ответов.
  9. Используйте длинное сложение для добавления столбцов чисел справа налево, как обычно при длинном сложении.

Длинное умножение с десятичными знаками

Длинное умножение на десятичные дроби с использованием стандартного алгоритма требует выполнения нескольких простых дополнительных правил.

  1. Подсчитайте общее количество десятичных знаков, содержащихся как в множимом, так и в множителе.
  2. Игнорировать десятичные дроби и выравнивать числа одно над другим по правому краю, как если бы они были целыми числами
  3. Умножайте числа, используя длинное умножение.
  4. Вставьте десятичную запятую в произведение, чтобы оно имело такое же количество десятичных знаков, как сумма из шага 1.

Пример длинного умножения с десятичными знаками

Умножить 45,2 на 0,21

Всего в обоих числах 3 десятичных знаков.

Игнорируйте десятичные разряды и завершите умножение, как если бы работали с двумя целыми числами.

Перепишите произведение, используя 3 десятичных разрядов.

Ответ = 9,492

Следовательно: 45,2 × 0,21 = 9,492

Длинное умножение на отрицательные числа

При выполнении длинного умножения вы можете игнорировать знаки, пока не завершите стандартный алгоритм умножения.После завершения умножения следуйте этим двум правилам:

  1. Если одно число положительное, а одно отрицательное, сделайте произведение отрицательным.
  2. Если оба числа отрицательны или оба числа положительны, сделайте произведение положительным.

Пример длинного умножения: умножить 234 на 56

Длинные шаги умножения:
Сложите числа с большим числом наверху.Выровняйте числа по столбцам с разрядными значениями.


Умножьте единицы нижнего числа на каждую цифру верхнего числа
6 × 4 = 24
Поместите 4 на место
Отнести 2 к десяткам



6 × 3 = 18
Добавьте 2, что у вас есть, = 20
Поставьте 0 в разряде десятков
Отнести 2 к сотням место




6 × 2 = 12
Добавьте 2, которые у вас есть, = 14
Это последнее число, которое нужно умножать, поэтому напишите ответ целым числом.Не нужно носить с собой 1.



Переместитесь на одну позицию влево. Умножьте цифру десятков в нижнем числе на каждую цифру в верхнем числе.
5 × 4 = 20
Добавьте строку в свой ответ на умножение
Когда вы пишете свой ответ, сдвиньте один столбец влево
Поставьте 0 на место
Отнести 2 к десяткам



5 × 3 = 15
Добавьте 2, которые у вас есть, = 17
Поставьте 7 на место десятков
Отнести 1 к сотням место




5 × 2 = 10
Добавьте 1, что у вас есть, = 11
Это последнее число, которое нужно умножать, поэтому напишите ответ целым числом.Не нужно носить с собой 1.




Сложите числа в столбцах, используя длинное сложение
4 + 0 = 4
0 + 0 = 0
4 + 7 = 11
напишите 1 и перенесите 1
1 + 1 + 1 = 3

После того, как вы сложите столбцы, вы увидите результат длинного умножения: 234 × 56 = 13104.


Сопутствующие калькуляторы

Если вам нужна помощь с длинным сложением, см. Наш Калькулятор длинного сложения для сложения чисел путем длинного сложения и просмотра работы.

Для длинного деления см. Калькулятор деления чисел в столбик с остатками. Этот калькулятор тоже показывает работу.

Если вам нужно умножить дроби, посетите наш Калькулятор дробей.Здесь вы можете выполнять умножение, сложение, вычитание и деление дробей.

Список литературы

Math is Fun показывает примеры Длинное умножение в анимационном ролике.

Длинное умножение — это алгоритм, и вы можете найти примеры алгоритмы умножения в Википедии.

Гудман, Лен.«Длинное умножение». От MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram, созданный Эрик В. Вайсштейн. Длинное умножение

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Комплексное умножение сложнее понять с алгебраической или геометрической точки зрения.Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два члена, поэтому, умножив их, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i 2 .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, . А как насчет 8 i 2 ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1.Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i 2 равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет посередине между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда согласно формуле умножения zw равно ( xu yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | 2 = x 2 + y 2

Аналогично имеем

| w | 2 = и 2 + v 2

и, поскольку zw = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | 2 = ( xu yv ) 2 + ( xv + yu ) 2

Итак, чтобы показать | zw | 2 = | z | 2 | w | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu yv ) 2 + ( xv + yu ) 2 = ( x 2 + y 2 ) ( u v 2 )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2 = –1. А как насчет i 3 ? Это всего лишь i 2 умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i 3 = — i. Это интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат –1. Итак, i 4 = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4 = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i 4 = 1. Например, i 5 равно i умножить на i 4 , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить мощность i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i 11 = i 7 = i 3 = — i.

Как насчет отрицательных степеней и ? Какова величина, обратная i, то есть i –1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i –1 = i 3 = — i. Таким образом, i является обратным — i. Представьте себе — число, обратная величина которого — собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными величинами.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по фундаментальной теореме алгебры число n корней -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восемь из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = — y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что при умножении на i повернулся в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что умножение на — i делает таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг закрашен.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *